mathematics

Mathematics

Set with n elements has 2**n subsets (if we count the empty set and whole set as subsets). Prove:

There are 2 different ways of dealing with the first element - you can either include it or not. There are 2 different ways of dealing with the second element and the third and so on up to the n-th. So, there are 2 x 2 x 2 x to n factors = 2**n different ways of dealing with all n elements

Permutations with repetitions

When the order matters, and an object can be chosen more than once, the number of permutations is n**r where n is the number of objects from which you can choose and r is the number to be chosen.

Permutations without repetitions

The total number of permutations of n elements is n!

The total number of k-permutations of n elements is

P(n,k)=n · (n - 1) · (n - 2) · . . . · (n - k + 1) = n! /(n-k)!

Combinations without repetitions: Binomial coefficient

When the order does not matter and each object can be chosen only once. The number of distinct subsets with j elements that can be chosen from a set with n elements is denoted by (n k)

and is pronounced “n choose k.” The binomial coefficients are given by the formula:

C(n,k)=n!/(k!(n-k)!) =P(n,k)/k!

A die is rolled four times. What is the probability that we obtain

exactly one 6?

reshebnik.ru

http://www.reshebnik.ru/solutions/5/13/

Sequences

Stolz-Cesàro: Let and be two sequences of real numbers, such that is positive, strictly increasing and unbounded. Then,

if the limit on the right hand side exists.

Matrixes

http://elib.ispu.ru/library/math/sem1

Произведением матрицы

размером на матрицу размером назвается матрица размером у которой Обозначение: C = AB.

произведение определено только в том случае, если число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго

Для квадратных матриц А и B, вообще говоря,

Транспонирование матриц

Свойства:

Ранг матрицы

Ранг матрицы - наивысший порядок отличных от нуля ее миноров. Обозначение: rank A.

Базисный минор матрицы - любой отличный от нуля минор порядка

r = rank A.

Determinant

При транспонировании матрицы определитель не меняется, то есть

. Определитель произведения квадратных матриц равен произведению определителей сомножителей, то есть

Если в матрице поменять местами две строки, то ее определитель сменит знак. Если матрица имеет две одинаковые строки, то ее определитель равен нулю. Если строку матрицы умножить на число , то ее определитель умножится на это число.

Если одна из строк матрицы равна другой, умноженной на число (строки пропорциональны), то определитель матрицы равен нулю

Inverse Matrix

Обратная матрица

Матрица

- обратная для матрицы A, если

Для квадратной матрицы A обратная существует тогда и только тогда, когда

где

- алгебраические дополнения элементов матрицы A.

Свойства:

Specia Matrixes I

Симметрические матрицы:

- симметрическая

Кососимметрические матрицы:

- кососимметрическая

Ортогональные матрицы:

- ортогональная

Невырожденные (неособенные) матрицы:

Вырожденные (особенные) матрицы:

Special Matrixes II

1. Toeplitz Matrix: This is a matrix where all elements on superdiagonals and subdiagonals are equal.

2. Hankel Matrix: This is a matrix where all elements on any superdiagonal and subdiagonal perpendicular to the main diagonal are equal.

3. Vandermonde Matrix: A matrix where first column is 1’s succesive columns being the second column with its elements raised to increasing integer powers.

4. Idempotent Matrix: A matrix that when raised to an integer power remains the same.